x的sinx次方求导,x的sinx次方求导怎么求?

你好,我是【雨洁电影】,很高兴为你解答x的sinx次方求导。解答:本题属于对数求导法则的问题令y=(sinx)^cosx,等式两边同时取自然对数,得到:lny=cosx*lnsinx等式两端同时对x求导,得到:(1/y)*y导=(-sinx)lnsinx+cosx*(1/sinx)*cosx所以:y导=(sinx)^cosx*[-sinx*lnsinx-(cosx)^2/sinx]更多专业的科普知识,欢迎关注我。如果喜欢我的回答,也请给我赞或转发,你们的鼓励,是支持我写下去的动力,谢谢大家。

x的sinx次方求导,x的sinx次方求导怎么求?插图

幂指函数 y = x^sinx,求导应该是两部分的和,1.幂函数:sinx * x^(sinx-1) 2.指数函数:x^sinx * lnx * cosxy ‘ = sinx * x^(sinx-1) + x^sinx * lnx * cosx = x^sinx * [ cosx*lnx+sinx*1/x ]设幂指函数 y = u(x) ^ v(x)y ‘ = v(x) * u(x) ^ [v(x)-1] * u ‘ (x) + u(x) ^ v(x) * ln u(x) * v ‘ (x)

x的sinx次方求导,x的sinx次方求导怎么求?插图1

u^x求导公式底数必须是常数

x^n同理指数必须是常数

所以书上的这两个公式都不能用

y=(sinx)^x=e^(xln|sinx|)

再用复合函数求导

要不然就用取对数求导法

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复合函数求导

就是把复合函数拆成一系列简单函数

各自求导然后相乘

这个题外层函数y=u^x求导的时候也是要用基本公式的

而(a^x)’=(a^x)lna要求底数a是常数(公式后面有括号说明吧)

底数不是常数就不能用

而这个u=sinx本身不是常数

而是一个中间变量,变量…

所以不行

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方法1

两边同时取以e为底的对数

lny=xlnsinx

两边同时对x求导数

含有y的把y看成关于x的函数,复合函数求导

(1/y)*y’=1*lnsinx+x*(1/sinx)*(sinx)’

化简即y’/y=lnsinx+xcotx

解出y’来,再把右边的y带入

y’=y*(lnsinx+xcotx)=(sinx)^x*(lnsinx+xcotx)

方法2

写成e^xlnsinx再求导(略)

步骤比较复杂

前面的方法有问题。这类问题的通用解法是,对 对数 求导。

lnY = sinX * ln X

两边求导,

Y’/ Y = cosX * ln X + sinX / X

Y’ = (cosX * lnX + sinX/X) * Y = (cosX * lnX + sinX/X) * X^sinX

类似的,

Y = X^X 求导,

lnY = X*lnX

Y’/Y = lnX + 1

Y’ = (lnX + 1) * X^X

[x^sinx]’=x^sinx(sinx/x+cosx*lnx)

过程如下:

利用求导公式:

y=u^v, y’=vu^(v-1)u’+u^v*lnu*v’

本题 u=x,v=sinx,

代入后得:

y’=sinx*x^(sinx-1)+x^sinx*lnx*cosx=x^sinx(sinx/x+cosx*lnx)

y = x^(sinx) ==> lny = (sinx)lnx

两边求导: y’/y = (sinx)/x + (cosx)lnx

==> y’=y*[(sinx)/x + (cosx)lnx] = [(sinx)/x + (cosx)lnx]*x^(sinx)

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