增根概念,数学:有增根是什么意思?

在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根增根概念

增根概念,数学:有增根是什么意思?插图

如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。增根的产生的原因: 对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程,这时未知数的允许值扩大,因此解分式方程容易发生増根。例如: 设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.

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只要每一步的推导都可逆,就不会产生增根。

举例来说,对于方程 ,有 将 代入 得到: 推导到这里并没有什么问题, 和 能推导到 和 ,反过来 和 也能推导回 和 。但是,如果将 代入 而直接得到: 该结果是代入后舍去 式的了。我们可以发现, 和 能推导到 ,但是反过来,从 是得不到 和 的,这就是不可逆了。容易知道, 多了一个根 ,而 和 的解集和 、 的是一样的。

另外,每一步推导都可逆还可以保证不丢失根。

不是同一个意思.无解是没有解.有可能分式化成整式后,也是无解的.
增根是原本分式不可能有这个根(使得分母为0),但是整式化后,这个使得分母为0的数能使得整式成立,所以产生了一个增根,增根是需要舍去的,但是舍去了增根后,还是可能有其他的根,所以有增根不一定无解.
无解和增根无必然联系.
例如方程(x 2)/x=(x 4)/x,这个分式方程整式化后(两边同时乘x)得x 2=x 4,整式方程无解,分式方程也无解.但是这个方程没有增根.
又例如方程(x 2)/x=(x 2)/x,将这个方程整式化后得x 2=x 2,x可以取全体实数.但是x=0使得分母为0,要舍去,舍去了这个增根x=0后,还有全体非零实数的根,并不是无解.

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